Дробь в уравнении — не враг, а запись деления
Дробь в уравнении выглядит громоздко. Но есть приём, который убирает её за одно действие: умножить обе части на знаменатель. Остальное — знакомые шаги. Запись x/3 = 7 — это просто деление: «какое число, делённое на 3, даёт 7?» Ответ — x = 7 × 3 = 21. Дробь исчезла, уравнение решено.
На этом уровне дроби появляются в полноценных линейных уравнениях: не просто x/a = b, а конструкции вроде (2x + 1)/5 = 3 или уравнения с несколькими дробями. Главная задача — научиться освобождению от дроби: убрать знаменатель, чтобы уравнение стало привычным, без дробной черты.
Умножение обеих частей на знаменатель
Правило простое: если в уравнении есть дробь с знаменателем a, можно умножить обе части уравнения на a. Дробь сокращается, а равенство сохраняется. Например: (x + 4)/3 = 5. Умножаем обе части на 3: x + 4 = 15. Вычитаем 4: x = 11. Проверка: (11 + 4)/3 = 15/3 = 5 — верно.
Почему это работает? Потому что умножение — обратная операция к делению. Числитель, делённый на знаменатель и тут же умноженный на него, возвращается к исходному значению. Знаменатель и множитель «сокращаются» друг с другом — остаётся только числитель.
Общий знаменатель: когда дробей несколько
Бывает, что в уравнении две или три дроби с разными знаменателями: x/2 + x/3 = 10. Умножить на 2 уберёт первую дробь, но не вторую. Умножить на 3 — наоборот. Нужно число, которое делится и на 2, и на 3 — общий знаменатель. Здесь это 6.
Умножаем всё уравнение на 6: 6 · x/2 + 6 · x/3 = 6 · 10, то есть 3x + 2x = 60. Приводим подобные: 5x = 60, x = 12. Все дроби исчезли за один ход. Чем точнее подобран общий знаменатель, тем проще дальнейшие вычисления. Идеальный вариант — наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей.
Пропорции и уравнения — одна природа
Пропорция — это равенство двух дробей: a/b = c/d. Из школьного курса известно правило «крест-накрест»: a · d = b · c. По сути, это то же умножение обеих частей на оба знаменателя, просто записанное короче.
Любое уравнение с одной дробью можно представить как пропорцию. Например, (2x − 1)/4 = 3 — это (2x − 1)/4 = 3/1. Применяем «крест-накрест»: (2x − 1) · 1 = 4 · 3, то есть 2x − 1 = 12. Дальше — стандартные два шага.
Понимание связи между пропорциями и уравнениями особенно выручает на контрольных, где задачи на пропорции и задачи на уравнения с дробями идут вперемешку. Это не два разных навыка, а один — освобождение от дроби через умножение. Тренируя уравнения с дробями, ты одновременно тренируешь пропорции.
Отработай навык
Каждая дробь в уравнении убирается за один ход. Потренируйся — и перестанешь их бояться. Генератор подбирает числа так, чтобы после умножения на знаменатель все коэффициенты оставались целыми. Можно сосредоточиться на методе, а не на арифметике.
Режим «Микс» чередует уравнения с одной дробью и с несколькими. Это развивает умение быстро оценивать: достаточно ли умножить на один знаменатель, или нужно искать общий. Со временем это определяется за секунду — глаза привыкают видеть структуру.